"The Rasch model is the only model in IRT that satisfies the requirements of a measurement model." — Georg Rasch

什么是Rasch模型

Rasch模型由丹麦数学家 Georg Rasch 于1960年代提出，是项目反应理论(IRT)中最简单、最基础的模型。它描述了考生能力与题目难度之间的关系。

模型公式

对于一道题目jj，考生ii 答对的概率为：

P(Xij=1∣θi)=11+e−(θi−bj)P(X_{ij} = 1 | \theta_i) = \frac{1}{1 + e^{-(\theta_i - b_j)}}

其中：

  • XijX_{ij}: 考生ii 在题目jj 上的作答反应（1=正确，0=错误）

  • θi\theta_i: 考生ii 的能力参数 (ability)

  • bjb_j: 题目jj 的难度参数 (difficulty)

  • ee: 自然常数，约2.718

能力与难度的对比

情况

关系

正确概率

θi​>bj​

能力高于难度

P>0.5

θi​=bj​

能力等于难度

P=0.5

θi​<bj​

能力低于难度

P<0.5

模型特性

  • 单调性：能力越强，答对的概率就必须越高，绝不会出现“越聪明越容易错”的反直觉现象。

  • 对称性：概率曲线以“能力=难度”的临界点（胜率 50%）为中心，两端呈现完美的镜像对称。

  • 局部独立性：只要确定了学生的真实能力，他做每一道题的结果都是绝对独立的，题目之间不会互相暗示。

  • 客观性：评估“人”不挑卷子，评估“题”不挑学生，彻底实现了人与题的参数解耦。

项目特征曲线（ICC）

在IRT中，项目特征曲线（ICC）以图形形式表示根据考生的能力水平正确回答某个项目的概率。ICC（见下图）提供了一个视觉展示，说明项目参数——区分度、难度和猜测度——如何影响表现。

icc.png

  • 横轴：人的能力 θ\theta ，从左到右能力越来越高。

  • 纵轴：答对这道题的概率，从0到1。

Rasch模型的局限性

  1. 假设所有题目区分度相同 — 实际题目往往有不同的区分度

  2. 假设没有猜测因素 — 考生可能随机猜对

  3. 能力分布假设 — 参数估计时需要对能力分布做假设