针对“共享单车调度问题”，完成五步建模。

  1. 明确目标函数(例如减少车辆空驶、提高用户满意度)。

  2. 定义决策变量(如每辆车的移动路线、调度时刻)。

  3. 写出关键约束(如车辆容量、时间窗、需求覆盖)。

  4. 指出潜在的不确定性(如天气、需求波动)。

  5. 提出一种求解方法(如 MIP +启发式混合)。

目标

服务好：少缺车，少满桩，用户等车/还车时间越短越好；服务达标率越高越好。

成本低：调度车行驶里程、司机工时、装卸次数、过路费越少越好。

符号

  • 站点集合 II ，时间段集合 T={0,1,…,H}T=\{0,1,\dots,H\} ，车队 KK（可选）。

  • 容量：站点车桩上限 CiC_i​，安全库存下限 LiL_i​。

  • 需求：在时段 tt 的租出 RitR_{it}​、归还 HitH_{it}​（可用预测）。

  • 成本：搬运/行驶成本 cijtc_{ij}^t​，车辆固定/里程成本 gijtg_{ij}^t​，缺车罚金 α\alpha，满桩罚金 β\beta。

  • 行驶时间（分时段）： τijt∈Z≥0\tau_{ij}^t\in\mathbb{Z}_{\ge 0}。

  • 车队容量：每辆车载重 qkq_k。​

决策变量

  • bit∈Z≥0b_{it}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}​：时段 tt 结束站点 ii 的自行车库存。

  • xijt∈Z≥0x_{ij}^t\in\mathbb{Z}_{\ge 0}​：在 tt 从 ii 发出、在 t+τijtt+\tau_{ij}^t​ 抵达 jj 的调拨量。

  • uit≥0u_{it}\ge 0：因缺车未满足的租出量（短缺）。

  • vit≥0v_{it}\ge 0：因满桩未能归还的量（溢出）。

  • yk,ijt∈{0,1}y_{k,ij}^t\in\{0,1\} 表示车辆 kk 在 tt 时刻从 ii 发出，开去 jj 。

  • ℓkt\ell_{kt} 车辆 kk 在 tt 时刻结束时的车上载量。

  • pikt≥0p_{ik}^t \ge 0 车辆 kk 在站点 ii 、 tt 时刻装上去的量。

  • dikt≥0d_{ik}^t \ge 0 车辆 kk 在站点 ii 、 tt 时刻卸下来的量。

  • si≥0s_{i}\ge 0： 在站点 ii 的装卸服务时间。

目标函数

服务惩罚+运营成本

min∑t∈T∑i∈I(αuit+βvit)+∑t∈T∑i,j∈Icijtxijtmin \sum_{t \in T} \sum_{i \in I}(\alpha u_{it} + \beta v_{it}) + \sum_{t \in T} \sum_{i,j \in I}c_{ij}^tx_{ij}^t

关键约束

库存平衡

bi,t+1=bit−(Rit−uit)+(Hit−vit)+∑jxjit−∑jxjitb_{i,t+1}=b_{it}-(R_{it}-u_{it})+(H_{it}-v_{it})+\sum_j x_{ji}^t-\sum_j x_{ji}^t

其中：

Li≤bit≤Ci ∀i,tL_i \le b_{it} \le C_i \space \forall{i,t}
xijt∈Z≥0  bit∈Z≥0  uit,vit≥0x_{ij}^t \in \Z \ge 0 \space \space b_{it} \in \Z \ge 0 \space \space u_{it},v_{it} \ge 0

车辆路径 + 载重 + 时间窗

车辆流守恒

∑j∈Iyk,ijt  −  ∑j∈Iyk,ji t−τji  =  {1,(i,t)=车 k 的起点,−1,(i,t)=车 k 的终点,0,其他 (i,t),∀k∈K,  i∈I,  t∈T. \sum_{j\in I} y_{k,ij}^{t} \;-\; \sum_{j\in I} y_{k,ji}^{\,t-\tau_{ji}} \;=\; \begin{cases} 1, & (i,t)=\text{车 }k\text{ 的起点},\\[2pt] -1, & (i,t)=\text{车 }k\text{ 的终点},\\[2pt] 0, & \text{其他 }(i,t), \end{cases} \qquad \forall k\in K,\; i\in I,\; t\in T.

载重动态（与取/卸量联动）

ℓk,t+1=ℓk,t+∑i∈Ipik t−∑i∈Idik t,0≤ℓk,t≤qk,∀ k∈K,  t∈T.\ell_{k,t+1} = \ell_{k,t} + \sum_{i\in I} p_{ik}^{\,t} - \sum_{i\in I} d_{ik}^{\,t}, \qquad 0 \le \ell_{k,t} \le q_k, \quad \forall\, k\in K,\; t\in T.

装卸与调拨一致性

∑kdikt−∑kpikt=∑jxjit−∑jxijt,∀ i,t.\sum_{k} d_{ik}^t - \sum_{k} p_{ik}^t = \sum_{j} x_{ji}^t - \sum_{j} x_{ij}^t,\quad \forall\, i,t.

时间窗

Tk,j t+τijt  ≥  Tk,i t+si+τijt  −  M ⁣(1−yk,ijt),∀ k∈K,  i,j∈I,  t∈T.T_{k,j}^{\,t+\tau_{ij}^{t}} \;\ge\; T_{k,i}^{\,t} + s_i + \tau_{ij}^{t} \;-\; M\!\left(1 - y_{k,ij}^{t}\right), \qquad \forall\, k\in K,\; i,j\in I,\; t\in T.